Fonctions cosinus et sinus

Définitions

On appelle fonction cosinus la fonction qui à tout réel \(x\) associe le réel \(\cos(x)\).
On appelle fonction sinus la fonction qui à tout réel \(x\) associe le réel \(\sin(x)\).
Les cosinus et sinus d’un réel étant définis à partir du cercle trigonométrique, les fonctions cosinus et sinus sont appelées fonctions circulaires.

Propriété

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période \(2\pi\). 

Démonstration

En effet, pour tout réel \(x\), on a \(\cos(x+2\pi)=\cos(x)\) et \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\).

Conséquence

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}\,;\vec{i}\,,\vec{j}\right)\).
Les courbes représentant ces fonctions sont invariantes par translation de vecteur \(2\pi\vec{i}\).

Propriétés

• La fonction cosinus est paire. 
  
• La fonction sinus est impaire.

Démonstration

En effet, pour tout réel \(x\), on a \(\cos(-x)=\cos(x)\) et \(\sin(-x)=-\sin(x)\).

Conséquences

Le plan est muni d'un repère orthogonal.
La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, tandis que la courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Remarque

Par parité et périodicité des fonctions cosinus et sinus, on peut restreindre l'étude de ces fonctions sur la demi-période \([0\,;\pi]\).